Kiedy w XX wieku zaczęła się rozwijać fizyka kwantowa, okazało się, że matematyka była już do niej świetnie przygotowana. Narzędzia stworzone wcześniej z czystej ciekawości – często uznawane za dziwne i oderwane od życia – nagle znalazły swoje naturalne zastosowanie. Dziś trudno sobie wyobrazić opis świata atomów i cząstek bez takich pojęć jak liczby zespolone, macierze, przestrzenie Hilberta, spinory czy funkcje falowe. Dla laika brzmi to jednak jak szyfr. Spróbujmy więc choć trochę je odczarować.

Liczby zespolone

          Liczby zespolone to liczby rzeczywiste wzbogacone o dodatkowy składnik zwany częścią urojoną. Ciekawa jest ich arytmetyka: wprowadza się w niej jednostkę urojoną oznaczaną symbolem « i », dla której zachodzi równość i² = –1. Dzięki temu można opisywać i rozwiązywać równania, które w świecie liczb rzeczywistych nie mają rozwiązania, np. x² + 1 = 0. Koncepcję liczb zespolonych w pełni zdefiniował Friedrich Gauss w 1832 roku, opierając się na wcześniejszych ideach Caspara Wessela (1799), Leonharda Eulera i Rafaela Bombelliego. Choć na pierwszy rzut oka mogą wydawać się czystą abstrakcją, liczby zespolone mają ogromne znaczenie praktyczne. Wykorzystuje się je m.in. w elektrotechnice, teorii fal, a w fizyce kwantowej stanowią wręcz niezbędny język do opisu stanów kwantowych i funkcji falowych. Z matematycznego punktu widzenia każdą liczbę zespoloną można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie — tzw. płaszczyźnie zespolonej (Gaussa). Część rzeczywista odpowiada wtedy osi poziomej, a część urojona osi pionowej. Taka interpretacja pozwala traktować działania na liczbach zespolonych jak przekształcenia geometryczne, np. mnożenie przez «i» można rozumieć jako obrót o 90° wokół początku układu współrzędnych. Dzięki temu liczby zespolone łączą w elegancki sposób algebrę i geometrię.

Rachunek macierzowy

To nic innego jak zestaw reguł pozwalających wykonywać działania na tabelach liczb (macierzach). Tak jak w zwykłej arytmetyce mamy dodawanie, mnożenie czy potęgowanie liczb, tak samo w rachunku macierzowym istnieją zasady łączenia macierzy, obliczania ich wyznaczników czy znajdowania tzw. wartości własnych i wektorów własnych. Obrazowo to tablice mające możliwość zapisania wiele informacji dotyczących danego zjawiska. Na pierwszy rzut oka może to wyglądać jak sztuczka czysto matematyczna, ale w praktyce ma ogromne znaczenie. Dzięki rachunkowi macierzowemu można opisywać ruchy w grafice komputerowej (np. obrót obrazu na ekranie), rozwiązywać złożone układy równań w inżynierii, a w fizyce kwantowej — śledzić ewolucję stanów kwantowych i obliczać, jak systemy zmieniają się w czasie pod wpływem różnych oddziaływań.

Przestrzenie Hilberta

Obrazowo to przestrzenie wielowymiarowe. Można je traktować jako bardzo uogólnioną wersję zwykłej przestrzeni geometrycznej, w której znamy pojęcia odległości, kąta czy prostopadłości. W przestrzeni Hilberta „punktami” są funkcje (a nie liczby czy współrzędne), ale mimo tej abstrakcji nadal obowiązują intuicyjne reguły: można mierzyć „odległość” między funkcjami, sprawdzać ich „prostopadłość” czy tworzyć kombinacje liniowe. Dzięki temu przestrzenie Hilberta stały się naturalnym językiem fizyki kwantowej. Każdy stan kwantowy opisuje się jako wektor w takiej przestrzeni, a obserwable (czyli wielkości mierzalne, np. energia, pęd, spin) odpowiadają operatorom działającym na te wektory. W ten sposób matematyczna struktura przestrzeni Hilberta pozwala uporządkować i uściślić opis całego świata mikroskopowego.  Dzięki tej konstrukcji każdy stan kwantowy można traktować jak wektor w ogromnej, niewyobrażalnej przestrzeni. A to pozwala precyzyjnie zapisać prawa rządzące mikroświatem.

Funkcje falowe

To centralne pojęcie fizyki kwantowej. Funkcja falowa opisuje stan cząstki (np. elektronu) i zawiera w sobie wszystkie informacje, jakie można o niej zdobyć. Zapisuje się ją najczęściej jako ψ(x,t), czyli zależność od miejsca w przestrzeni i czasu. W przeciwieństwie do klasycznej fizyki, funkcja falowa nie mówi nam dokładnie, gdzie cząstka się znajduje. Zamiast tego pozwala obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia jej w określonym miejscu albo z określonym pędem. To właśnie dlatego mówi się, że świat kwantowy jest „probabilistyczny”, a nie „deterministyczny”. Matematycznie funkcja falowa musi spełniać równanie Schrödingera — podstawowe prawo dynamiki w mechanice kwantowej – kwantowym odpowiednikiem praw Newtona. Dzięki temu można przewidywać ewolucję układu kwantowego w czasie, np. jak elektron w atomie zmienia swój stan energetyczny.

Spinory

Spinory to bardziej wyszukane obiekty matematyczne do opisu spinu, czyli wewnętrznego „wirowania” cząstek elementarnych., które na pierwszy rzut oka przypominają wektory, ale zachowują się nieco inaczej. Najprościej mówiąc, służą do opisu «spinu» — wewnętrznej własności cząstek elementarnych (takiej jak elektron czy proton), która nie ma swojego odpowiednika w fizyce klasycznej. Ciekawą cechą spinorów jest to, że gdy obracamy cząstkę w przestrzeni, jej spinor nie wraca od razu do pierwotnego stanu. Trzeba wykonać pełny obrót o 720°, a nie o 360°, aby system wyglądał tak samo jak na początku. To coś zupełnie przeciw intuicyjnego z perspektywy codziennego doświadczenia, ale w świecie kwantowym jest jak najbardziej naturalne. W praktyce spinory pozwalają precyzyjnie opisać zachowanie cząstek z połowicznym spinem (np. elektronów) i są podstawowym językiem teorii kwantowej cząstek elementarnych oraz mechaniki kwantowej relatywistycznej (np. w równaniu Diraca). To jedna z tych reguł, które pokazują, jak bardzo kwantowy świat różni się od intuicji, do której przywykliśmy.

          Powyższe objaśnienia wymagają dalszych wyjaśnień, ale na dzisiaj i tak za dużo.